التعميم بالرياضيات 1

التعميم في علم النفس ,هو الاستجابة استجابات متشابهة لمثيرات متشابهة وهذه الاستجابات والمثيرات قد لا تكون
متطابقة تماماً0 فالمبدأ أو التعميم هو المقدرة المستنتجة التي تجعل الفرد قادرا ًعلى الاستجابة لفئة من المثيرات بفئة من
الاستجابات , والأخيرة ترتبط مع الأولى بفئة من العلاقات وباختصار, حسب ما يرى جانييه , المبدأ هو علاقة بين
مفهومين أو أكثر 0 ويأتي تصنيف المبادئ والتعميمات فوق المفاهيم في السلم الهرمي لنتاجات التعلم عند جانييه 0
إن النظر إلى مجموعة العناصر التي تشترك ببعض الصفات المحددة ومعاملتها كصنف أو كصنف واحد ,والاستجابة
لها استجابات متشابهة , هو التعميم بذاته والتعميم الرياضي هو عبارة رياضية ( جملة إخبارية ) تنطبق على مجموعة
من الأشياء أو العناصر 0 أو هو توسيع لعبارة بسيطة لتصبح عبارة أعم وأشمل ,في حين تكون العناصر البسيطة حالة
خاصة منها 0 وقد يعرف التعميم الرياضي على أنه عبارة تحدد علاقة بين مفهومين أو أكثر من المفاهيم الرياضية
والتعميمات الرياضية , هي في معظمها , عبارات رياضية يتم برهنتها , أو استنباطها واكتشافها , وبعضها الأخر
عبارات يسلم بصحتها مثل المسلمات والبديهيات 0
فالنظريات هي تعميمات رياضية , ومن أمثلتها :
يقبل العدد القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
مجموع قياسات زوايا المثلث في هندسة إقليدس يساوي 180ْ
طول القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في المثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث
والقوانين الرياضية , أوالمبادئ كما تسمى أحياناً , هي تعميمات رياضية و من الأمثلة عليها :
قانون التوزيع ( توزيع الضرب على الجمع في الأعداد ) :
أ × ( ب + جـ ) = أ × ب + أ × جـ
*****لمات في الرياضيات , وكذلك البديهيات , هي تعميمات رياضية ومن أمثلتها :
- يمكن رسم مستقيم وحيد يصل بين نقطتين مفروضتين 0
إذا اضيفت أشياء متساوية لشيء واحد كانت النواتج متساوية
إذا رسم مستقيم داخل مثلث ماراً بأحد رؤوسه , فإنه يقطع الضلع المقابل للرأس 0
يلاحظ من الأمثلة السابقة , كيف أن كل تعميم رياضي حدد علاقة بين مجموعة من المفاهيم أو الرموز
, فالتعميم : كل عدد نسبي يمكن كتابته بصورة كسر عشري دوري, يتضمن المفاهيم التالية :
عدد نسبي , كسر عشري منتهي , أو كسر عشري دوري وكيفية ارتباط هذه المفاهيم بعضها ببعض0
ومن غير المعقول أن يتعلم الطالب هذا التعميم إلا إذا كان قد تعلم أصلاً المفاهيم المكونة له 0 أي أن المتطلبات السلبقة لتعلم المبادئ والتعميمات 0
والتعميمات في الرياضيات قد يكون تعميماً كلياً , أو قد يكون تعميماً جزئياً 0 فالتعميم الكلي هو عبارة مسورة كلياً 0 أي أنها تبدأ بلفظ لكل أو لجميع وإليك الأمثلة التالية :
- لجميع قيم س الحقيقية , س2 أكبرمن أو يساوي صفر
جميع الاقترانات المتصلة قابلة للتكامل 0
وقد لا يذكر صراحة في التعميم لفظ ( لجميع أو لكل)أو قد لا يبدأ التعميم برمز فيفهم من سياق الكلام تسوير العبارة
( التعميم) تسويراً كلياً , كما يتضح من الأمثلة التالية :
قطرا المستطيل ينصف كل منهما الأخر
مساحة المربع المنشأعلى الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الأخر ين 0
إذا كان مميز المعادلة التربيعية عدداً سالبا ًفإن جذري المعادلة هما عددان تخيليان0
أما التعميم الجزئي ,فهو عبارة رياضية تبدأ بلفظ يوجد أو لبعض أو بالرمز Ė , أي أنها عبارة مسورة جزئياً , ومن الأمثلة على هذه التعميمات ما يلي :
-بعض الاقترانات المتصلة غير القابلة للاشتقاق 0
يوجد مثلثات قائمة الزوايا ومتساوية الساقين 0
تتعامد أقطار بعض متوازيات الأضلاع 0
بعض متوازيات الأضلاع هي مستطيلات 0
* تعليم التعميمات الرياضية :
يمكن تلخيص التتابع ألتدريسي لتدريس المبادئ والتعميمات , سواء علمت من قبل المعلم أو الكتاب , بالخطوات التالية :
1 – إخبار المتعلم عن طبيعة الأداء المتوقع عندما ينهي تعلم المبدأ أو التعميم , ففي ذلك وسيلة للحصول على تعزيز فوري للمتعلم عندما يصل إلى الفعل النهائي
2 – توجيه أسئلة للمتعلم لاستدعاء المفاهيم المتعلمة السابقة التي تكوّن التعميم
3-استخدام عبارات لفظية أو رموز ( كالأمثلة والأسئلة ) التي تقود المتعلم لربط المفاهيم اللازمة لتكوين المبدأ أو التعميم مع بعضها , وبالترتيب الملائم لتكوين المبدأ0
4 قبل الصياغة اللفظية للمبدأ , يسأل المتعلم أن يصف واحدة او أكثر من الحالات الكثيرة التي تنطبق على التعميم وتكون
مثالاً عليه 0
إن هذا التتابع في تدريس التعميمات الرياضية , والذي يمكن أن يستخدمه المعلم أو الكتاب , يتم عادة بطريقتين :
الأولى : طريقة الشرح والتفسير ( طريقة العرض )
والثانية : طريقة الاكتشاف الموجه0
وقبل أن نتعرض لهاتين الطريقتين , نذكر فيما يلي بعض التحركات التي يقوم بها المعلم أو الكتاب , ل***** عملية التعلم
هذه التحركات هي مجموعة الأعمال الهادفة والتي في تسلسلها وتتابعها المنتظم تكون استراتيجية التدريس المستخدمة
لتدريس التعميم0
تحرك التقديم : وهو بداية لما يتبعه من حركات , ويستطيع المعلم أن يقدم للتعميم إما بتركيز انتباه الطلاب على الموضوع الذي سيدرسونه , وذلك بذكر عنوانه مثلاً , أو بيان الهدف من تعلم التعميم , أو بإقناع الطلبة بأهمية هذا التعميم لخلق دافعية نحو تعلمه , ويمكن أن يشار إلى هذا التحرك بالتهيئة الحافزة 0
-تحرك الأمثلة : وهنا يستخدم المعلم مثالاً أو أكثر على التعميم 0 والمثل يعني إحدى الحالات الخاصة التي ينطبق
عليها التعميم مثلاً: لو جـ م× ن = لو جـ م + لوجـ ن , فإن أحد الأمثلة عليه هو: لو3 35 = لو 3 7 + لو 3 5
تحركات أللأمثلة : وتعتبر هذه التحركات امتداداً لتحركات الأمثلة , وفيها يقدم للطلبة حالات لا ينطبق عليها التعميم 0 ففي التعميم السابق , نذكر للطالب , أن الاستنتاج التالي غير صحيح , لأنه لا يخضع للتعميم :
لوجـ (م + ن ) X**; لوجـ م × لو جـ ن فمثلاً لو3 ( 27 + 9 ) X**; لو3 27 × لو3 9
-صياغة التعميم : وهنا يقدم للطلاب نص التعميم , أو نساعدهم على اكتشاف التعميم وصياغته بصورة كلامية أو رمزية
تحرك التفسير :بعض التعميمات قد تتضمن مفاهيم غير واضحة , أو قد يكون التعميم نفسه غير واضح في صياغته وألفاظه و, فيقوم المعلم بمراجعة معاني هذه المفاهيم , أو صياغة التعميم بعبارات أوضح حتى يتضح المعنى الذي يتضمنه التعميم في ذهن الطالب 0 ففي التعميم يقبل العدد القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه تقبل القسمة على 3 , يوضح للطالب معنى القسمة , ومفهوم أرقام العدد وتمييزها عن العدد نفسه 0
تحرك التبرير : تبرير التعميم يعني إعطاء الدليل أو السبب الذي يبين أو يؤكد على صحة التعميم , ويجعل الطلاب يقتنعون بذلك 0
فقد يلجأ المعلم إلى إثبات صحة التعميم بالبرهان , أو تبيان ذلك بالأمثلة أو الأشكال والرسومات , أو قد يلجأ إلى البحث عن مثال ينقص التعميم ( وذلك في الحالات التي تثبت أن تعميماً ما هو تعميم خاطئ) 0 فالتبرير الذي يقدمه المعلم للتعميم:
أU ب = أ ∩ ب
هو البرهان , أو إعطاء أمثلة عليه, أومن خلال أشكال فن
تحركات التطبيق : وفيها يقدم المعلم المسائل والتمارين والتدريبات التي تتطلب استخدام التعميم والتدريب لحلها , وتحتاج هذه تحليل المسألة لمعرفة أي التعميمات التي ستستخدم , وخاصة إذا لم تكن المسألة مباشرة على التعميم , أو إذا تطلبت استخدام أكثر من تعميم واحد0
* طريقة العرض في تدريس التعميمات
تتميز هذه الطريقة في تدريس التعميمات الرياضية والنص عليه في مرحلة مبكرة , أي أن تحرك صياغة التعميم هو بداية التحركات التي يستخدمها المعلم في الاستراتيجية التدريسية التي يسير وفقاً عليها 0 ويلي هذا التحرك , بطبيعة الحال , تحركات أخرى , مثل تحركات الأمثلة و اللا أمثلة 0وقد يدخل المعلم تحركات أخرى , فقد يستخدم تحرك التفسير للتعميم , والتبرير على صحة التعميم ,و قد يستخدم تحركات تهدف لإثارة الدافعية عند الطلاب لتعلم المفهوم ومهما كانت سلسلة التحركات هذه فإن المعلم يحافظ دوماً على الخطوة الأولى وهي تقديم تحرك صياغة التعميم أولاً
يتبعها بسلسلة من التحركات التي تتناسب وطبيعة التعميم والهدف من تعلمه 0 أو كان بحاجة إليه في تعميمات أخرى
ومن الاستراتيجيات الشائعة عند معلمي الرياضيات لتدريس التعميم الرياضي وفق طريقة العرض هذه , الاستراتيجية التالية :
1 – تحرك التقديم : في هذا التحرك يقدم المعلم لطلبته مقدمة تمهيدية عن التعميم0
2 - صياغة التعميم : في هذا التحرك يقدم المعلم نص التعميم كلاماً أو رمزاً 0
3 – تحرك الأمثلة : وهنا يورد المعلم مثالا ًأو أكثر على التعميم 0
4 – تحرك التفسير , حيث يوضح المعلم المفاهيم والمعاني التي يتضمنها نص التعميم 0
5 - تحرك التبرير , فيقدم المعلم الدليل على صحة التعميم أو أية وسيلة لإقناع الطلبة بصحته كالأمثلة أو الأشكال أو الرسومات 0
وقد يدخل بعض المعلمين تحركات أخرى على هذه السلسلة , أو قد يعدلون في ترتيب هذه التحركات
بشكل يحافظ دوماً على تصدر تحرك صياغة التعميم لسلسلة التحركات التي يتبعها0
مثال : خطوات طريقة العرض في تدريس التعميم :
قانون توزيع الضرب على الجمع في الأعداد
1)تحرك التقديم :
الجميع يعرف حقائق الضرب (جدول الضرب ) حتى 10 ×10
من منكم يعطيني ناتج ضرب ( ذهنياً )
5 × 12 , 7× 13 ,8 × 14 , وهكذا
سوف ندرس قانوناً بسيطاً يمكن استخدامه لإيجاد نواتج الضرب بسرعة وبدون استخدام الورقة والقلم أي ذهنياً 0
2 ) تحرك صياغة التعميم (والتفسير ) القانون هو
أ × (ب + جـ ) = أ × ب + أ × جـ
ويدعى قانون توزيع الضرب على الجمع
يوجه المعلم نظر الطلبة إلى ما يعنيه هذا القانون
3 ) تحرك الأمثلة مع التبرير :
أ ) 5 × ( 7 + 9 ) = 5× 7 + 5× 9 = 35 + 45 = 80
ولتبرير النتيجة : 5 × ( 7 +9 ) = 5 × 16 ( بالجمع أولاً داخل القوسين )
= 80
ب) 8 ×( 7 + 15 ) = 8 × 7 + 8× 15 = 56 + 120 = 176
لتبرير النتيجة : 8 × ( 7 + 15 ) = 8 × 22 = 176
4 ) تحرك التطبيق : ينطبق التعميم السابق على إيجاد ناتج ضرب 9x 235 , وهكذا :
9 × (5 + 30 + 2** ) = 9 × 5 + 9 ×30 + 9× 2** = 45 + 270 + 18** = 2115
5) تحرك التدريب : من خلال أمثلة وتدريبات تعطى للطلبة مع التشجيع على الحساب الذهني0.

* طريقة الاكتشاف الموجه :
الفارق الرئيسي بين هذه الطريقة والطريقة السابقة , هو موقع تحرك صياغة التعميم في سلسلة التحركات المستخدمة
فيمكن أن ينظر إلى هذه الطريقة على أنها سلسلة من التحركات أو الأنشطة تأتي فيها صياغة التعميم والتأكيد عليه في مرحلة متأخرة بخلاف طريقة العرض , حيث يتصدر تحرك الصياغة سلسلة التحركات فقد يبدأ المعلم بتقديم عدد من الأمثلة التي تقود الطلاب وترشدهم إلى استنتاج التعميم , أو يبدأ بالمعلومات المتوفرة لدى الطلاب , ويطرح عدداً من الأسئلة التي تؤدي في النهاية إلى استنتاج التعميم والتوصل إليه
أولاً : التعميم عن طريق الأمثلة :
مربع أي عدد إما أن يكون عدداً فردياً أو يقبل القسمة على 4 0
تمعن في مربعات الأعداد التالية , وربع الأعداد الأخرى ( غير المربعة ) 0
1 2 =1 , 3 2 = 9, 5 2 = 25 ، 7 2 = **0 , 9 2 = **0 , 11 2 = **0 , 13 2 = **0
لاحظ أن جميع الأعداد التي تم تربيعها هي اعداد فردية
ماذا تستنتج؟ مربع أي عدد فردي هو .................
2 2= يقبل القسمة على4 ( 4 عدد يقبل على 4 )
4 2 =16 يقبل القسمة على4 ( 16 عدد يقبل القسمة على 4 )
6 2 =36 يقبل القسمة على 4 ( 36 عدد يقبل القسمة على 4 )
................................................
جميع الأعداد التي ربعت هي أعداد زوجية
من الأمثلة السابقة يمكن التوصل إلي التعميم:مربع أي عدد زوجي هو عدد .............................
من الأمثلة السابقة يمكن التوصل إلى التعميم التالي :
مربعات الأعداد هي إما أعداد ................ أو أعداد تقبل القسمة على ....................................
ثانياً : التعميم عن طريق الأسئلة :
مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع المحدب الذي عدد أضلاعه ن يساوي (2ن – 4 ) زاوية قائمة 0
أجب عن الأسئلة التالية , وارسم شكلاً يوضح إجابتك أو يساعدك على الإجابة حيثما لزم :
كم عدد أضلاع المثلث ؟ ............. ما هو مجموع زوايا المثلث ؟ ..........................
كم عدد أضلاع الشكل الرباعي ؟ ................. ما مجموع زواياه ؟ ........................
كم عدد أضلاع الشكل الخماسي ؟ .................................................. .................
إلى كم مثلث ينقسم الشكل الخماسي ؟ .................................................. ..............
ما مجموع زوايا الشكل الخماسي ؟ .................................................. ................
كم عدد أضلاع الشكل السداسي ؟ .................................................. ..................
إلى كم مثلث ينقسم الشكل السداسي ؟ .................................................. .............
ما مجموع زوايا الشكل السداسي ؟................................................. .................
وهكذا نصل إلى السؤال التالي :
إلى كم مثلث ينقسم الشكل الذي عدد أضلاعه ن ؟ .................................................. ...
وما هو مجموع قياسات زواياه ؟ .................................................. .......................
( ملاحظة : يمكن دعم التساؤلات السابقة بأشكال لتساعد الطلبة على الإجابة عليها ) 0
إن أسلوب تقديم الأمثلة للوصول إلى التعميم في طريقة الاكتشاف هو الأسلوب الاستقرائي في الاكتشاف الموجه
وسنأتي بشيء من التفصيل عن هذا الأسلوب .
أسلوب الاكتشاف الاستقرائي : ويعني الوصول إلى نتيجة عامة من بعض المشاهدات الخاصة . والاكتشاف الاستقرائي
يتضمن عمليتين مترابطتين هما التجريد والتعميم , فإذا أدرك الطالب بعض الخصائص العامة لمجموعة من الأشياء فقد توصل إلى تجريد , أما إذا تنبأ بأن علاقة ما متوفرة في عينة خاصة ستكون صحيحة في عينة أوسع فيكون قد توصل
إلى تعميم . فمن الأمثلة :
4 = 2+2 , 6 = 3 + 3 , 8 = 5 + 3 , 10 = 5 + 5 أو 7 + 3
12 = 7 + 5 , 14 = 7 +7 أو 11 + 3 , 16 = 5 + 11 أو 3 + 13
يستطيع أي طالب أن يستنتج أن : أي عدد زوجي أكبر من أو يساوي 4 يساوي مجموع عددين أولين .
فملاحظة الطالب للأعداد الزوجية إلى يمين المتساويات , والأعداد الأولية إلى يسارها هو تجريد لخاصية عامة
يكون قد أدركها من تفحصه الأعداد على طرفي المتساويات . أما قوله ( أي عدد زوجي أكبر أو يساوي 4 ) , فهو تعميم لهذه الخاصية التي أدركها من مجموعة الأعداد 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 إلى مجموعة الأعداد الزوجية التي
هي أوسع منها وتحتويها كمجموعة جزئية . وقوله ( أي عدد زوجي أكبر أو يساوي مجموع عددين أولين ) هو تعميم
أيضاً لتجريد إدراكه من الأمثلة التالية الذكر .
فإذا كان التعميم صحيحاً يعرف المعلم أن الطلاب قد توصلوا إلى الاكتشاف الصحيح . وليس من الضروري
أن تكون الصياغة الكلامية ضرورية في كثير من الأحيان , فقد يدرك الطالب التعميم دون أن يستطيع التعبير عنه بالكلام . ولكي يتأكد المعلم أن الطلاب قد أدركوا التعميم يعطيهم بعض الأمثلة الصعبة نسبياً والتي لا يستطيع الطالب الإجابة عليها إلا إذا أدرك التعميم فعلاً 0
فمثلاً : إذا طلب منهم أن يكتبا العدد 52 لمجموع عددين , كما في الأمثلة السابقة , وكانت إجاباتهم 52 = 41 + 11
أو 47 + 5 مثلاً فقد أدركوا معنى التعميم . أما إذا ظهرت إحدى الإجابات 52 = 45 +7 مثلاً , فلم يدركوا معنى التعميم
لاستخدامهم العدد 45 وهو عدد فردي , ولكن ليس أولياً .
وعملية التعميم ليست بالسهولة الظاهرة من هذا المثال . فيجب على المعلم أن يؤكد على طلابه بعدم قبوله أي تعميم إلا بعد تمحيصه جيداً, وتطبيقه على أمثلة متعددة ومختلفة . ويستعمل أسلوب المثال المضاد عند توصل الطلاب إلى تعميم خاطئ . وعند اتباع هذا الأسلوب , يجب اختيار الأمثلة التعليمية ممثلة لمجال تطبيق التعميم وحالاته المتعددة .
هذا وتشير بعض الدراسات إلى أن عدد الأمثلة الازمة لتكوين تعميم معين يتراوح من 3 إلى 6 أمثلة . وهذا طبعاً
, يختلف من متعلم إلى أخر حسب عوامل منها العمر ومستوى الذكاء , وطبيعة التعميم نفسه .
ومن الأخطاء التي تقع , وبشكل متكرر , عند الطلبة هو التعميم , بل أن بعض الطلبة يتوصلون إلى تعميمات خاطئة , وبأخذون بها , وهناك مواقف يصح فيها التعميم في عدد محدد من الأمثلة أو الحالات , ولكن لا يصح في غيرها , فمثلاً
2 +1 = 3 عدد أولي
2 × 3 + 1 = 7 عدد أولي
2× 3 × 5 +1 = 31 عدد أولي
2 × 3 × 5 × 7 + 1 =211 عدد أولي
2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311 وهذا أيضاً عدد أولي
ولكن 2 × 3 × 5× 7 × 11× 13 + 1 = 3**31 = 59 × 209 وهذا ليس عدداً أولياً . ولذا يجب توخي الحرص والحذر من التعميم من أمثلة قليلة .