التعميم بالرياضيات 2

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
وبالرغم من أهمية ودور الاكتشاف الاستقرائي في التدريس , إلا أنه قد يحتاج وقتاً أطول من الأسلوب الاستدلالي
الأسلوب الاستدلالي : يلعب هذا الأسلوب دوراً هاماً في تعليم الرياضيات وجوهر هذا الأسلوب هو إعطاء الطلاب بعض المفاهيم والمبادئ الرياضية وتشجيعهم على اشتقاق معلومات رياضية ليست معروفة لديهم سابقاً
والأسلوب الاستقرائي والاستدلالي يتطلبان من الطلاب أن يكونوا فعالين في اكتساب المعرفة غير المعروفة سابقاً
ففي الأسلوب الاستقرائي يقوم الطالب بهذا العمل من الأمثلة والتمارين . أما في الأسلوب الاستدلالي فيقوم الطالب بهذا العمل
عن طريق الاستدلال المنطقي من المعارف السابقة , ودور المعلم في هذا الأسلوب هو توجيه سلسلة من الأسئلة الهادفة
التي توجه تفكير الطلاب نحو التعميم المراد تعليمه .
ولا يخفى أن بعض التعميمات قد تعلم إما بالأسلوب الاستقرائي أو بالأسلوب الاستدلالي أو بالاثنين معاً . وعلى المعلم أن يدرك طبيعة التعميم المراد تعليمه كي يقرر أي الأسلوبين سيتبع : الاستقرائي أو الاستدلالي أم كليهما معاً . لأن أسلوب الاكتشاف الاستقرائي لا يناسب كل الحالات والتعميمات .
مثال :
تدريس التعميم : قانون المسافة بين نقطتين أ ( س1 , ص 1 ) , ب ( س2 , ص2) :
أ ب = ( س1 – س2 )2 + ( ص1 – ص2 )2

باستخدام أسلوب الاكتشاف الاستدلالي
1)تحرك التقديم : علىالرسم المجاور لو سارت النقطة ب ( 5 , 5 )
إلى الوضع جـ ( 5 , 1 ) ثم إلى الوضع ب (5 , 5)
فما المسافة التي سارتها النقطة ختى وصلت إلى الوضع ب ؟
جـ (5 , 1 ) أ ( 2 ,1 )
لو سارت النقطة أ مباشرة وبخط مستقيم إلى الوضع ب , فما المسافة التي تكون قد قطعتها ( بدون قياس؟
سنتوصل إلى قانون يعطينا المسافة دون الحاجة إلى قياس هذه المسافة 0
2 ) تحرك النقاش ( الاستدلال المنطقي ) لصياغة التعميم : لنمثل وضعاً عاماً للنقطتين أ , ب
كما في الشكل المجاور
ماذا نريد أن نجد ؟ نريد أن نجد المسافة من أ إلى ب , أي أب .
يكمل المعلم الشكل أعلاه ليصبح مشابهاً للشكل السابق :
ما ألإحداثي السيني للنقطة جـ ؟ الجواب س2
ما ألإحداثي الصادي للنقطة جـ ؟ ص2
إذن إحداثيات النقطة جـ : ( س2 , ص1 )
ما نوع المثلث ب جـ أ ؟ قائم الزاوية في جـ
ما طول الضلع جـ أ ؟ س2 – س1
ما طول الضلع ب جـ ص2 – ص1
إذا كان المثلث ب جـ أ قائم في جـ, فماذا نستخلص من ذلك؟
( أب)2 =(ب جـ)2 +(جـ أ)2
3) تحرك التدريب على التعميم
يقدم المعلم مثالين على التعميم ثم يدرب طلابه على القانون بإعطائهما أمثلة وتدريبات مباشرة ومتنوعة
4) تحرك التطبيق: تعطى حالات غير مباشرة , كاستخدام القانون في استخلاص بعض العلاقات في الأشكال الهندسية .
* اكتساب التعميم :
والسؤال الذي يطرح نفسه على المعلم بعد تدريس التعميم الرياضي , هو كيف يقوم أداء طلبته ليحكم على مدى اكتسابهم للتعميم وقدرتهم على استخدامه . بعض الأسئلة تركز على حل بعض التمارين ( الأمثلة ) على التعميم , وبعضها يهتم بالمعرفة والحفظ , وغيرها تهتم بالفهم والتفسير والبرهان . ويمكننا اعتماد نموذج ديفيس في اكتساب التعميم . والنموذج
مبني على تحركات الطلبة حيث تندرج هذه التحركات في مستويين . كما في التعميم التالي :
المعادلة التربيعية على الصورة : س2 + ص2 + 2 ل س + 2 ك ص + جـ = صفر
هي معادلة دائرة مركزها ( - ل , - ك ) , ونصف قطرها :
ل2 + ك2- جـ
المستوى الأول : فهم المعنى المتضمن في التعميم :
يشمل هذا المستوى على التحركات التالية :
فهم المفاهيم والمصطلحات الواردة في التعميم : والمفاهيم هي : معادلة تربيعية , الدائرة , مركز الدائرة , نصف قطر الدائرة ( مع تمثيل المفاهيم بيانياً )
2 – صياغة التعميم بلغة الطالب الخاصة :
بإمكان الطالب كتابة أو صياغة معادلة الدائرة باستخدام رموز أخرى , أو بصورة كلامية أو لغوية .
3- إيراد أمثلة وحالات خاصة على التعميم : إعطاء أمثلة على معادلة دائرة مثل س2 + ص2 – 2س +3ص – 1 =0
وذكر مركزها ونصف قطرها حسب التعميم .
4 – ذكر الشروط الضرورية لاستخدام التعميم :
يلاحظ الطالب الشرط : معامل س2 = معامل ص2 , وكيفية استخدام المعادلة للحصول على المركز , ونصف القطر , مع مقارنة معادلة الدائرة بالصورة العامة للمعادلة التربيعية في س2 , ص2.
يسأل الطالب ليجد نصف قطر دائرة , ومركزها , إذا علمت المعادلة, وكتابة المعادلة إذا علم نصف قطرها ومركزها
المستوى الثاني : تبرير التعميم واستخداماته
يشتمل هذا المستوى على التحركات التالية :
6 – بيان صحة التعميم أو برهنته : إما أن يبدأ الطالب من تعريف الدائرة واستخدام العلاقة :
( س – ل )2 + ( ص – ك )2 = نق2 ليصل إلى المعادلة المعطاة , أو يبرهن أن المعادلة المعطاة له بعد عمليات جبرية ( إكمال المربع ) معينه تحقق العلاقة أعلاه .
7 – استخدام أمثلة عددية ومادية لتوضيح التعميم:
يعطى الطالب أمثلة عددية على التعميم , وقد يستخدم في ذلك الدوائر المتماسة من الداخل والخارج , أو المرسومة داخل بعضها ومتحدة في المركز .
8 – التعرف على استخدامات التعميم في مواقف غير مألوفة :
أن يصل الطالب إلى معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ومعادلة الدائرة التي تمس أحد المحورين , أو تمس كليهما
ومتى تؤول المعادلة إلى معادلة دائرة تمثل دائرة تخيلية أو دائرة واحدة ............
وغير ذلك من التطبيقات غير المباشرة على استخدام التعميم .
والمقدرة على اكتساب التعميم موجودة , ولكن بدرجات متفاوتة عند الطلبة ذوي القدرات المتباينة في الرياضيات . ويبدو أن الطلبة ذوي القدرة العالية يصنفون المسائل والأمثلة حسب التركيب الرياضي لها أي أنهم يقومون بعملية التجريد , ومن ثم يعممون , في حين أن الطلبة ذوي القدرات المنخفضة يصنفون المسائل والأمثلة حسب السياق الرياضي لها ويعممون الحل على مسائل حسابية بعد أن يدركوا العلاقات اللفظية دون الوصول إلى تجريد لهذه العلاقات . وكلما
كان الطالب قادراً على تصنيف المسائل , وإدراك ارتباطها مع بعضها من حيث التركيب الرياضي ( التجريد ) كلما كان أقدر على التعميم .
ويمكن زيادة قدرة الطلبة على التعميم , باتباع تدريب معين للطلبة , فقد وجد ويلز أن الطلبة ضاعفوا قدرته على التعميم
مرتين من خلال التدريب الذي حصل عليه طلبته واستمر أسبوعين . ويؤكد ويلز أن القدرة على التعميم هي مهارة تكتسب من خلال التدريب المنتظم .
* أهداف تدريس التعميمات الرياضية
يمكن النظر إلى التعميمات من حيث أهداف تدريسها كما يلي :
أ ) تعميمات الهدف من تعليمها وتعلمها إجراء الحسابات , أو الحسابات , أو الاستخدامات المباشرة من مثل التعيينات التالية :
يقبل العدد القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 .
إذا قسمنا بسط الكسر ومقامه على نفس العدد فإن الكسر الناتج يكافئ الكسر الأصلي .
حيث يستخدم هذا التعميم في اختصار الكسور .
بم × بن = بم +ن
وغيره من قوانين الأسس , والتي تستخدم في اختصار المقادير الكسرية أو في التحليل إلى العوامل .
قوانين الاشتقاق في حساب التفاضل
ب ) تعميمات تستخدم من أجل تطبيقاتها واستخداماتها في مواقف غير مباشرة , من أجل تنمية القدرة على التفكير الإستنتاجي والبرهان الرياضي , مثل: - مجموع زوايا المثلث يساوي 5180
مبدأ العد : إذا أمكن إجراء عملية ما بطرق عددها م , وأمكن إجراء عملية أخرى بطرق عددها ن فإنه يمكن إجراء العمليتين معاً بطرق عددها م × ن ( حيث يستخدم في التباديل و التوافيق ) .
الضلع الأكبر في المثلث يقابل الزاوية الكبرى , أو طول أي ضلع في المثلث هو أكبر من مجموع طولي الضلعين الآخرين
الشكل الناتج من وصل منتصفات أضلاع أي شكل رباعي هو متوازي أضلاع
جـ ) يهدف تدريس بعض التعميمات استخداماتها في إجراء الحسابات وكذلك لتطبيقاتها واستخداماتها في المواقف غير المباشرة , مثل : - قانون المسافة بين نقطتين .
قوانين الربح البسيط أو الربح المركب .
نظرية فيثاغورث .
قوانين الاحتمالات .
د) وهناك تعميمات تكمن أهميتها في إتاحة الفرصة للطلبة للتدريب على عمليات الاكتشاف والاستقراء , ولذا ينصح المعلم باستخدام أسلوب الاكتشاف الموجه الحر عند تدريسها , ومن مثل هذه التعميمات :
عدد المجموعات الجزئية لمجموعة عناصرها ن يساوي 2ن .
عدد أقطار مضلع محدب عدد رؤوسه ن يساوي :
ن ( ن – 1 ) - ن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــ
2
عدد الإقترانات ( الاتصال ) من نوع واحد لواحد , وشامل والتي يمكن تكوينها من مجموعة إلى نفسها يساوي ن ! حيث ن عدد عناصر المجموعة
مجموع الزوايا الخارجة لأي مضلع يساوي 4 زوايا قائم.
وإدراك المعلم لطبيعة التعميم الذي يدرسه والهدف من تدريسه يوجهه إلى اختيار الأسلوب المناسب لتدريسه , فقد يختار
مثلاً الاكتشاف الموجه لتدريس تعميم لا يستخدم في التطبيقات المباشرة أو غير المباشرة , ولكنه قد يستخدم طريقة العرض المباشر لتدريس تعميم الهدف من استخدامه في التطبيقات المباشرة أو إجراء الحسابات .
مأخوذ من كتاب الرياضيات المدرسية وتدريسها الدكتور فريد كامل أبو زينة